Artysta ukończył warszawską szkołę baletową, od 1956 roku tańczył w zespole baletowym Opery Poznańskiej awansując w 1962 do rangi solisty. Jako choreograf zadebiutował w teatrze dramatycznym w 1969 roku. W sezonie 1971/1972 zdobył uznanie w Operze Śląskiej dzięki realizacjom scen baletowych w operach Faust, Aida i Carmen, ale której opracował ponad 70 spektakli. Henryk Konwiński pełnił funkcję kierownika baletu Opery Śląskiej, Opery Poznańskiej i kierownika artystycznego bytomskiej szkoły baletowej. Ma w swoim dorobku cieszące się popularnością programy telewizyjne i liczne choreografie opracowane dla scen teatrów muzycznych i dramatycznych.